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『剰余の定理』…イカメシイ名前ですなぁ。(^_^;) [理系っぽいお話]

『剰余の定理』と聞くと、

とたんに青ざめていやになる学生さん[がく~(落胆した顔)]

って多い気がするのは私だけでしょうか?

その上、

\begin{eqnarray*} P(x)=(x-p)Q(x)+R(x) \end{eqnarray*}

という式を出されて、

$(x-p):P(x)$を割るもの、$Q(x)$:商、$R(x)$:余り。

と機械的に書いてあった日にゃ~あんた、

「数学は今日かぎりでやめさせていただきます!」

なんてなるのは目に見えていますよね。[ひらめき]

剰余の定理というのは、実は小学生でも知っていることを、

“漢字”で書いたために難しく感じてしまうものなのです。

こんな例はいかがでしょうか。[バッド(下向き矢印)]

「7を3で割った時の商と余りを式を使って示せ。」

(数学ってなんでいちいち命令形なのでしょうか?)

これは意外と(相当?)簡単で、

\begin{eqnarray*} 7=3×2+1 \end{eqnarray*}

となって、商が2、余りが1なのは解りますよね。

実はたったこれだけの話なのです。[わーい(嬉しい顔)]

だって割り算ですから。

H25.8月6日カワラわり.jpg

これを、一般の‘整式’などに当てはめると、

例えば、

「整式$x^{2011}$を$x^2+1$で割った余りを求めよ。(京都薬大)」

なんて問題も解けてしまうわけですね。

ちなみにこの回答は、

2011次式を2次式の$x^2+1$で割るので、

余りを、1次式でおけばいいわけです。

例えば、

$ax+b$とでもおいてみましょうか。($a,b$は実数)

さらに、商を$Q(x)$とでもおくと、

\begin{eqnarray*} x^{2011}=(x^2+1)Q(x)+(ax+b) \end{eqnarray*}

という式になりますが、

この$Q(x)$が得体が知れないので消えて欲しいのです。

しかし、

$Q(x)$がどんなに得体が知れなくても、

“$0$”をかけたら、 $0$ になっちゃいますよね。[わーい(嬉しい顔)]

そこで、

$Q(x)$にかけてある$x^2+1$が、

$x^2+1=0$となるような“$x$”である“$x=i$”を式に代入して、

ガタガタ計算をしていくと、

“$a=-1$”、“$b=0$”となるので、(計算は省略)

余りは、“$-x$”となるのです。

小学生以来の数学もかなり重要だという事がわかりますね。[わーい(嬉しい顔)]


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