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“二次方程式”、『解と係数の関係』難しいようですな…(;一_一) [理系っぽいお話]

皆さん、こんにちは~[晴れ][わーい(嬉しい顔)]

先日、中学生の生徒さんから

「二次方程式の解と係数の関係がさっぱりわかりません[たらーっ(汗)]

はてな?.png

と泣きつかれました[ダッシュ(走り出すさま)][ダッシュ(走り出すさま)][ダッシュ(走り出すさま)]

なんでも由来がわからないそうで、いい機会なのでここでもちょっと触れておきます。[ひらめき]

まずは、なんでこんなもの(解と係数の関係)があるのか[exclamation&question]

考えてみましょう。[わーい(嬉しい顔)]

たとえば、

$x^2+5x+6=0$

の答えは、

$(x+2)(x+3)=0$

と因数分解できて、

$x=-2,-3$

となります。他にも、

$2x^2+7x+3=0$ は、

$(x+3)(2x+1)=0$ とできて、

\[x=-3,-\frac{1}{2}\]

となりますが、この二つの二次方程式の答えが違うのは、二次方程式の係数が違うからですよね。(当たり前のことを言ってるんです!)[ひらめき]

ということは、二次方程式の“係数”と二次方程式の“解”の間には何か関係があるのではないか?

と考えるわけです。[わーい(嬉しい顔)]

さあ、それではいきますよー[exclamation]

二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ ・・・① の解と係数の関係を考えていきましょう。

まずは、今回のお話の前提を設定します。

二次方程式①の解を
$α,β$ とします。

それから、$a≠0$ も仮定しておきます。
(そうでないと二次方程式になりませんからね!)

これらの設定の主張は、①の方程式を解けば、答えが

$x=α,β$ になるということを言っています。

ではここで逆に、$x=α,β$ を答えに持つ二次方程式はどんな形をしているのか考えてみましょう。

どうでしょうか[exclamation&question]

$x=α,β$ を答えに持つ方程式の一つは、

$a(x-α)(x-β)=0$ ・・・②

ですよね。簡単のために、$ax^2+bx+c=0$ とは $x^2$ の係数を $a$ で同じもので合わせておきました。

②を展開してちょっとまとめると・・・、

$ax^2-a(α+β)x+aαβ=0$ ・・・②’

になります。ここで、今回のお話の大前提に立ち戻ってみると、①と②(または②’)は、

$x=α,β$

を答えに持つ二次方程式でしたよね。しかも、$x^2$ の係数が同じなので、この二つの式は同じものでなくてはなりません。[ひらめき]

そこで、①と②’を改めて並べてみてみましょう。[わーい(嬉しい顔)]

$ax^2+bx+c=0$
$ax^2-a(α+β)x+aαβ=0$

この二つの式が同じ式でなくてはならないので、係数を比較すると、

$b=-a(α+β)$
$c=aαβ$

という式が得られて、

\[α+β=-\frac{b}{a}\]
\[αβ=\frac{c}{a}\]

という関係が得られました。[わーい(嬉しい顔)]

なるほど、

解の公式

\[x=\frac{-a\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

と比べるとはるかに綺麗な関係式になっていますね。[ぴかぴか(新しい)]

『解と係数の関係』を求める方法自体も重要なので、ようく確認しておいてくださいね[るんるん][わーい(嬉しい顔)]

それではまた[わーい(嬉しい顔)]










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